贝尔不等式说明了什么
贝尔不等式经过实验后否定的是“现实的非定域性”.——这一结论背后的“意味”是惊人的!
1965年,贝尔（John Bell）发明了实验方法测试定域性隐变量理论的正确性,并从中推导出一个不等式（贝尔不等式）——这个不等式因为只基于实验测定量,所以不必依赖任何特定理论.之后,人们发现贝尔定理（即贝尔不等式）的意义并不止于贝尔本人原先的预料,而且还意味着：无论隐变量是否存在（也就是说,即使现实是不确定的,即当现实是弱客观性时）,如果贝尔不等式不成立,则意味着现实的非定域性.于是,随后出现大量实验对贝尔不等式进行测试,而结果表明贝尔不等式总是不成立的.由此证明：如果现实存在,那么这个现实不可能是定域性的.
定域因果（local causality）原则,或简称为定域性（locality）原则,是爱因斯坦最坚信的原则之一.事实上,直到20世纪80年代,大多数物理学家仍然信守这个原则.定域性原则规定：任何物理效应（physical effect）都不可能以大于光速的速度传递.
除定域性原则外,另一个被普遍坚信的原则是客观现实（objective reality）原则.客观现实原则是指：无论被观察与否,同样存在着一个现实.
爱因斯坦不承认现实是非定域的（nonlocal）或不确定的（indefinite）.1935年,爱因斯坦与Podolsky及Rosen联合发表了著名的EPR论文,试图利用一个思想实验来表明,因为量子力学不能描述现实的定域性（local）及确定性（definite）,所以是不完备的.
但贝尔不等式实验及随后的大量实验证明了现实的非定域性.
贝尔不等式的通俗解释
贝尔不等式的通俗解释为：1964年约翰·斯图尔特·贝尔提出的一个数学不等式。该定理在定域性和实在性的双重假设下，对于两个分隔的粒子同时被测量时其结果的可能关联程度建立了一个严格的限制。在经典物理学中，此不等式成立；在量子物理学中，此不等式不成立，即不存在这样的理论，其数学形式为∣Pxz-Pzy∣≤1+Pxy。目前的实验表明量子力学正确，决定论的定域的隐变量理论不成立。贝尔不等式不成立意味着，阿尔伯特·爱因斯坦所主张的局域实体论（local realism），其预测不符合量子力学理论。由于很多实验的结果与量子力学理论的预测一致。显示出的量子关联（quantum correlation）远强过局域隐变量理论所能够解释，所以，物理学者拒绝接受局域实体论对于这些实验结果的解释。贝尔其人1928年7月28日，约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell)出生在北爱尔兰的首府贝尔法斯特。17岁时他进入贝尔法斯特女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。但贝尔对概率论的哥本哈根解释不置可否。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，他把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。
贝尔不等式的推导过程
继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述 （但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述 ），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。测量结果如表格所示： 同向轴 θ=0° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 ... 总共n对 爱丽丝： + --+ ... 鲍伯： -+ + -... 相关系数:( +1 +1 +1 +1 ... ) / n= +1 （100%一致） 正交轴 θ=90° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 ... 总共n对 爱丽丝： + -+ -... 鲍伯： --+ + ... 相关系数:( +1 -1 -1 +1 ... ) / n= 0 （50%一致） 但是当二者不处于平行或垂直，在两个地点测量得到一致结果的概率，会因为两根直轴 a 与 b 之间的夹角角度 θ而变化。现在设定实验规则，如右图所示，假设爱丽丝与鲍伯分别独自在这两个地点测量，若在某一次测量，爱丽丝测量的结果为向上自旋，而鲍伯测量的结果为向下自旋，则称这两个结果一致，相关系数为+1，反之亦然；否则，若爱丽丝与鲍伯测量的结果都为向上自旋或都为向下自旋，则两个结果不一致，相关系数为-1。那么，假设 a 与 b 相互平行，则测量这些量子纠缠粒子永远会得到一致的结果（完全相关）；假设两根直轴相互垂直，则只有50%概率会得到一致的结果，得到不一致结果的概率也是50%。测量的结果可以这样表示：在空间坐标系XYZ中： Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率 + + + - - - N1 + + - - - + N2 + - + - + - N3 + - - - + + N4 - + + + - - N5 - + - + - + N6 - - + + + - N7 - - - + + + N8 假设Pxy的意义是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上的相关系数，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)||Pxz-Pzy|<=1+Pxy当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。 除此之外，匈牙利物理学家F. P. 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明 。他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。
EPR悖论的贝尔不等式
为了解决这一“疑难”，不少理论物理学家企图建立量子力学的隐参量理论，他们认为迄今为止，决定微观粒子的决定性行为的隐变量尚未找到，波函数的统计解释实乃现今的一种权宜之计。1964年，在爱因斯坦去世9年以后，英国物理学家J·贝尔从隐参量存在和定域性成立出发得到一个可供实验检验的不等式，把一个长期争论不休的理论问题，变成一个可供实验判决的问题，从而对“EPR疑难”、对量子力学的理论基础作出了重大贡献。J·贝尔提出论文表明，对于EPR思想实验，量子力学的预测显著不同于局域性隐变量理论。概略而言，假若测量两个粒子分别沿着不同轴的自旋，则量子力学得到的统计关联性结果比局域性隐变量理论得到的结果要强很多，贝尔不等式定性地给出这差别，做实验应该可以观测出这差别。如同EPR作者，贝尔在论文里的导引采用了同样的两个假设：实在性：微观物体拥有实在性质，这种实在性质可以决定量子测量结果。局域性：在任意区域的实在性质不会被遥远区域进行的测量所影响。从这两个假设，贝尔推导出重要的结果——贝尔不等式，贝尔并且提出贝尔定理：“没有任何局域隐变量理论能够复制所有量子力学预测”。这意味着在这两个假设之中至少有一个假设不正确。EPR论文相当局限地只论述物理实在要素，J·贝尔1964年论文仔细论述到更多种不同的隐变量。最关键的一点是做实验能够检验重要的贝尔不等式，这促使了检验局域实在论的可能性。贝尔论文只涉及了决定性隐变量理论。后来，论文被推广为随机理论。 物理学家发现，论文所论述的并不只是隐变量，它还论述到一些并未真正执行测量的变量可能会拥有的测量结果。这种变量的存在称为“实在论假设”，又称为反事实确定性假设。 在贝尔论文发表之后，物理学家想出很多种实验来检试贝尔不等式，这些实验一般都依赖测量光子偏振的机制。1981年，A·阿斯佩克等人（1981年）利用纠缠光子对在更一般情况下，发现实验并不支持贝尔不等式而支持量子力学的正统解释。所有至今完成的实验结果，都违背贝尔不等式，符合量子力学预测。 虽然这些结果并没有证实量子力学是完备的，贝尔定理似乎终结了局域实在论，必须违背局域论，或者违背实在论，或者同时违背两者。这么简单与精致的理论导致出极为重要的量子力学结果，H·斯泰魄因此称誉其为“意义最深远的科学发现”。