初三数学二次函数知识点总结
同学们都知道初中数学中函数占据一个了很重要的比值，很多题目解题都需要运用到二次函数。下面我为大家整理了初三数学二次函数知识点总结，希望对大家有所帮助。 二次函数的定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）； 顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]； 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]。 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a； k=(4ac-b²)/4a； x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a。 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。 6.抛物线与x轴交点个数： Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）。 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。 抛物线y=ax^2+bx+c的图象 (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2|。 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
初三二次函数重点知识点总结
二次函数是初中数学中一个很重要的知识点，下面整理了一些二次函数重点知识点，供大家参考。 二次函数解析式的几种形式 1.一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). 2.顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 3.两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。 当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。 因此，研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。 2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。 3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。 4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)。 (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。 当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。 5.抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。 二次函数的平移规律口诀 上加下减，左加右减 y=a(x+b)²+c，是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移 (1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。 (2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。 (3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。 (4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。