拉格朗日插值和牛顿插值的异同？
一、含义不同：两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函曲线，这就叫做代数插值；Lagrange插值代数和Newton法插值都属于代数插值的范畴。Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值，所以一致。二、计算不同：Lagrange插值法是通过构造n+1个n次基本多项式，线性组合而得到的。而Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到的一个f（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+（x-x0）（x-x1）f［x0，x1，x2］+（x-x0）（x-x（n-1））f［x0，x1，xn］这样的公式，代进去就可以得到。牛顿插值法的特点在于：每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以。假设已知n+1n+1个点相对多项式函数ff的值为：（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（xn，f（xn）），求此多项式函数f。先从求满足两个点（x0，f（x0）），（x1，f（x1））的函数f1（x）说起：假设f1（x）=f（x0）+b1（x−x0）f1（x）=f（x0）+b1（x−x0），增加一个点，（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），求满足这三个点的函数f2（x）：假设f2（x）=f1（x）+b2（x−x0）（x−x1）以上内容参考：百度百科-牛顿插值法
拉格朗日插值和牛顿插值的异同？
一、性质不同1、牛顿插值：代数插值方法的一种形式。牛顿差值引入了差商的概念，使其在差值节点增加时便于计算。2、拉格朗日插值：满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。二、公式意义不同1、牛顿插值：牛顿差值作为一种常用的数值拟合方法，由于其计算简单、计算点多、逻辑清晰、编程方便等特点，在实验分析中得到了广泛的应用。特别是在实验中，当只能测量离散数据点或用数值解表示相应的关系时，可以用牛顿插值公式拟合离散点，得到更精确的函数解析值。2、拉格朗日插值：在许多实际问题中，函数被用来表示某些内部关系或规律，许多函数只能通过实验和观察来理解。如果实际观测到一个物理量，并在多个不同的地点得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，它可以精确地提取每个观测点的观测值。扩展资料：拉格朗日插值的发现：在数值分析中，拉格朗日插值法是由18世纪法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在数学上，拉格朗日插值法可以给出一个多项式函数，它只通过二维平面上的几个已知点。拉格朗日插值法最早由英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在《师范学校数学基础教程》一书中发表了这种插值方法，从此拉格朗日的名字就和这个方法联系在一起。参考资料来源：百度百科-牛顿插值公式参考资料来源：百度百科-拉格朗日插值法
牛顿插值余项
牛顿插值余项如下：当只知道函数在一些节点的位置却不知道函数具体的表达式时，我们可以利用代数插值方法给出函数的近似形式。常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值、埃米尔特插值及样条插值等等。牛顿（Newton）插值公式是代数插值方法的一种形式。牛顿插值引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。牛顿插值公式（Newton interpolation formula）是代数插值方法的一种形式。牛顿插值引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。公式意义：牛顿插值作为一种常用的数值拟合方法，因其计算简单，方便进行大量插值点的计算，且逻辑清楚，便于编程计算，在实验分析中具有广泛的应用。特别是实验中经常出现只能测量得到离散数据点的情况，或者只能用数值解表示某对应关系之时，可以使用牛顿插值公式，对离散点进行拟合，得到较为准确的函数解析值。引入思想；对于拉格朗日插值法，插值节点增减时，计算要全部重新进行，很不方便，因此我们考虑设计一种逐次生成插值多项式的方法（逐项生成也符合程序设计思想）
具体解释下牛顿插值公式
解题关键：
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数
想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：
（10×22-16×1O）÷(22-1O）
=（220-160）÷12
=60÷12
=5（头）
这片草供25头牛吃的天数：
（10-5）×22÷（25-5）
=5×22÷20
=5.5（天）
答：供25头牛可以吃5.5天。
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牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：”12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉20由格尔的牧草？”
（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。
牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。
牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的，
根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x
解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。