第5课：容斥原理入门
本文收录至文集： 写给家长的思维训练课
容斥原理基本公式：
【问题1】
一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么，两种都喜欢吃的有多少人？
【解答】
由容斥原理基本公式可得：两种都喜欢吃的=36+20-50=6（人）
包含三个对象的容斥原理：
推而广之：
【问题2】
妈妈用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖。已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米、27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠部分为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，第一块和第三块重叠了4平方分米。如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？
【解析】
利用公式可得：
即：
【总结】
1、对比问题1、2，容易发现，容斥原理适用范围很广，无论算术题还是几何题，题设只要符合容斥原理公式中每一部分的含义，就可以使用容斥原理解题
2、也可以尝试使用韦恩图（文试图）画图解题，实际上，图解法与公式法完全一致，前者更形象，后者更快捷，具体做题时应该灵活运用两种手段
【课后练习】
1、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？
2、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
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奥数题[容斥原理]
100除以2等于50，说明在1到100个自然数中有50个是2的倍数，100除以3等于33余1.说明在1到100个自然数中有33个是3的倍数，100除以5等于20，说明在1到100个自然数中有20个是5的倍数。
（1）2、3、5的最小公倍数是30，100除以30等于3余10，答案是3个
（4）2、3的最小公倍数是6，100除以6等于16余4，1到100的自然数中既能被3整除又能被2整除的数有16个，同理，既能被2整除又能5整除的数有10个，既能被3整除又能被5整除的数有6个。100-74=26（个）——不能被2、3、5中任何一个数整除的数有26个。
（2）27+14+7=48（个）
（3）13+7+3=23（个）
不知道对不对啊。呵呵。这个我画图做的，可图不会传上来啊
什么是容斥原理？
容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。
这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。
容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。